Одно из самых фундаментальных свойств математики — необходимость и аподиктичность её утверждений. Начнём с Лейбница и разработанных им положений логицизма (сведения исходных понятий математики к понятийному аппарату логики).

1) Необходимость математических и логических истин проистекает из невозможности их логического отрицания, что приведёт к противоречию. Отрицать, что «2+2=4», означает утверждать противоречие.

2) Логические и математические истины (являющиеся истинами разума) допускают редукцию в конечное число шагов к «тождественным истинам». Например, доказать суждение «2+2=4» означает свести его к тождеству «1=1». Случайные истины подобны трансфинитным множествам, и их редукция к «истинам тождества» нуждается в бесконечном числе шагов и доступна только Богу.

3) Редукция/симплификация логических и математических истин до «истин тождества» требует построения формального исчисления для вывода вывода следствий из принятых аксиом.

4) Являясь аналитическим по своей сути, критерий необходимости Лейбница придает логике и математике автономный характер, принципиально отделяет их от всех остальных наук. Проблема обоснования логики и математики, в отличие от всех остальных наук, становится сугубо внутренним делом данных дисциплин. Они не нуждаются в обращении к опыту, интуиции, когнитивной психологии etc.

Идеи Канта о синтетическом характере математических суждений, конструктивной природе математического знания, независимости математики от логики не поколебали уверенности логицистов конца XIX и начала XX вв. в аналитическом характере математики и логики, но потребовали от них дополнительного прояснения вопроса о соотношении между собой логических и математических истин. Учитывая совместимость последних, возможны три варианта их отношений. Либо логические и математические истины образуют один и тот же класс, либо логические истины являются подклассом математических истин, либо, наоборот, математические истины образуют подкласс логических истин. Согласно логицистам первый и второй варианты неверны, потому что, по их мнению, не каждая логическая истина является математической. Остается третий вариант: математические истины суть логические истины; они — следствия правильно построенного логического исчисления. Вывод новых математических истин совершается механически посредством манипуляции символами из ранее отобранных, названных аксиомами (не забываем, что истинная аксиоматика любой непротиворечивой системы содержит примеры, которые не выводятся из данных в системе аксиом).

Редукция Лейбница к тождественной истине заменяется Фреге доказательством аналитического характера рассматриваемого высказывания. Доказать, что математика есть часть логики, с логицистской точки зрения означает показать, что все понятия и суждения математики суть аналитически истинные сущности. Далее я буду рассматривать программу обоснования арифметики (на тот момент под ней понимали теорию натуральных чисел вместе с основаниями анализа) с позиции логики. Именно поэтому предметом интенсивного логического анализа стали прежде всего исходные понятия арифметики — число, множество, равенство, переменная и функция. Разберём дефиницию «число», которая, в частности, является «математическим объектом» и имеет прямое отношение к поставленному выше вопросу. По мнению Фреге, самые простые и неэффективные ответы на вопрос «что такое число?» предлагают те, кто полагает, что значение дефиниции числа может быть установлено непосредственно и не требует специальной методологической и, возможно, логической рефлексии. Число с этой точки зрения есть либо определенный психологический объект, либо тот знак (цифра), которым оно обозначается. Психологизм и формализм в математике берут своё начало именно из этой порочной методологической установки. Математики говорят, что числа абстрагируются из классов, или множеств, но они при этом не определяют, что именно они понимают под «абстракцией» и «классом». Абстрагируя, мы следуем от объектов к понятию, которые ему подчиняются. Но такой математик, как Кантор, понимает под абстракцией нечто иное. Для него абстракция означает создание новых объектов из уже данных. По его мнению, из наблюдения пяти точек, расположенных на одной линии, мы сначала абстрагируем их упорядоченность, что дает нам понимание значения порядкового числа «пятый», а затем посредством новой абстракции от порядка, в котором расположены эти точки, мы получаем определение кардинального числа «пять».

Однако, можно легко доказать бесплодность любого «непосредственного» определения числа. Если математик утверждает, что число — это идея, знак, целое, состоящее из подобных друг другу частей, или результат абстрагирования от множества вещей, то следует просто спросить о применимости подобных определений при конструировании математики как целостной науки. Если их нельзя применить буквально или их использование не приводит к доказательству законов арифметики, такие определения следует признать бесполезными. Неопределенность в понимании числа порождает неопределенность в определении других исходных понятий арифметики. При рассматриваемой трактовке понятия числа знак равенства не может быть использован для обозначения тождества. Каждое вхождение числа «5» в равенство «5 = 5» будет обозначать разные последовательности объектов, и следовательно, знак « = » не является знаком тождества. Имя «переменная», используемое для обозначения неопределенных величин, включая числа, само по себе ошибочно, полагает Фреге. Математики говорят о переменных так, как если бы они обозначали нечто «переменное» и «неопределенное». Но это, по его мнению, не так. Референтом выражения может быть только нечто постоянное и определенное (первичное допущение в конструкции Фреге). Переменные величины принципиально отличаются от единичных числовых терминов и используются двумя различными способами. Согласно первому, они указывают открытое место, на которое может подставляться константа, как, например, в выражении «х + 3». Согласно второму, они функционируют в качестве законов, как, например, в равенстве «х+у = y+x». В обоих случаях назначение переменных величин состоит в том, чтобы указывать место вхождения референта, а не обозначать его. Проблемы с пониманием переменных величин переносятся на понятие функции. Общепринятое определение функции «Если каждое значение действительной переменной “x", принадлежащее ее рангу, коррелирует с определенным числом “y”, тогда "y” определяется как переменная и называется функцией действительной переменной х; у = f (x)», согласно Фреге, не выдерживает критики. Как и переменные, функции не могут обозначать неопределенные числа или величины. Фреге называет несколько общих методологических причин неопределенности и путаницы в основаниях математики своего времени. Это тенденции смешивать знак и то, что он обозначает; объект и понятие; субъективное (психологическое) и объективное (логическое); рассматривать значения знаков вне их контекста. Последняя тенденция особенно распространена и опасна. Математики не видят, что их наука — комплексная система знаний, в которой все законы, определения и теоремы взаимосвязаны и ничто не имеет самостоятельного значения вне данной системы. Значение математических терминов определяется не тем представлением, которое они вызывают в нашем разуме, а тем местом, которое они занимают в математической системе; теми конкретными функциями, которые они в ней выполняют. В первую очередь Фреге стремится устранить все сомнения в аналитическом характере математических истин. Если этого не сделать, полагает он, невозможно будет доказать объективность и всеобщность математических законов. Хотя Фреге и не собирался, по его словам, вкладывать новый смысл в определения аналитических и синтетических истин, а только более точно истолковать, что имели в виду другие авторы, и прежде всего Кант, результат получился впечатляющим. В конце «Основоположений арифметики» Фреге смог даже обвинить Канта в том, что предложенная им дихотомия аналитического и синтетического не является исчерпывающей! Основание фрегевской классификации предложений на аналитические и синтетические, априорные и апостериорные составляет положение, что нас должно интересовать только, какое обоснование следует считать лучшим. Таким обоснованием, полагает Фреге, является дедуктивное доказательство. Результат обоснования зависит от всех использованных посылок. В совершенном обосновании ни одна из начальных посылок не требует доказательства. Посылки по своему статусу делятся на «факты» — недоказуемые истины, высказывающиеся о свойствах частных объектов, — и «универсальные законы» — утверждения общего порядка, не требующие сами по себе доказательства. Исключая возможность предложений, аналитических и апостериорных одновременно, как противоречивую по определению, Фреге считает, что: 1) Предложение — априорное, если оно дедуктивно выводимо из некоторого множества посылок. В противном случае оно — апостериорное. 2) Предложение — аналитическое, если оно выводимо из одних только универсальных логических законов и определений, включая все высказывания, от которых зависит их корректность. В противном случае, т. е. когда хотя бы одна из посылок представляет суждение о частном факте, выводимое предложение — синтетическое. Таким образом, в класс априорных истин попадают как аналитические, так и синтетические суждения. Апостериорные предложения могут быть только синтетическими. Ревизия аналитических и синтетических истин открывает Фреге путь к новому чисто логическому пониманию природы математических истин, их универсальности и подчинённости законам логики. «Фактически, всё, что может быть объектом мысли, может быть на самом деле сосчитано: идеальное и реальное, понятия и вещи, временное и пространственное, события и имела, методы и теоремы; даже сами числа можно последовательно пересчитать. В действительности не требуется даже указывать точные границы области мыслимого и считаемого, её логическую завершённость. Из этого факта можно прийти к поспешному выводу, что фундаментальные принципы арифметики не имеют никакого отношения к ограниченной области объектов, отличительные признаки которых они выражают, как выражают аксиомы геометрии отличительные признаки пространственных отношений. Наоборот, эти фундаментальные принципы должны охватывать всё что «мыслимо»; а высказывание соответствующее этой высшей градации универсальности, с полным основанием должно быть отнесено к области логики». Кант недооценил значение аналитических истин, считает Фреге. Как и синтетические истины, они могут давать новое знание о мире. Знание немногих законов арифметики позволяет обосновывать аналитически истинность арифметических утверждений, имеющих прямое отношение к решению реальных практических проблем. Иными словами, аналитический характер арифметических истин, основанный на их дедуктивной выводимости, никак нельзя назвать бесплодным. Вместе с доказательством аналитичности арифметических истин Фреге опровергает их возможность быть апостериорными истинами. Если бы арифметические истины были апостериорными, тогда они были бы индуктивными истинами. Но последнее невозможно, потому что индуктивное обоснование само основано на использовании теории вероятностей и тем самым — законов арифметики. «Вероятно, саму процедуру индукции можно оправдать только с помощью общих предложений арифметики, если под ней не понимать простую привычку. Последняя совершенно не обладает ручающейся за истину силой. В то время как научная процедура согласно объективным стандартам то находит обоснованной высокую вероятность в одном единственном примере, то считает не имеющими цены тысячи событий, привычка определяется числом и силой впечатлений и субъективными обстоятельствами, которые не имеют никакого права оказывать влияние на суждение. Индукция должна опираться на учение о вероятности, поскольку она может сделать предложение не более чем вероятным. Однако не видно, как это учение можно развить, не предполагая арифметических законов». Далее, если бы арифметические истины были апостериорными истинами, тогда они по определению зависели бы от психологических, физиологических и физических обстоятельств и условий. Но в этом случае математика потеряла бы свою всеобщность, объективность и обязательность. В сущности она бы самоупразднилась как наука, так как каждая новая эмпирическая ситуация требовала бы создания новых законов и теорем. Наконец, если бы математические истины были апостериорными, тогда они были бы истинны только в действительном мире и не имели бы никакой обязательной силы для возможных объектов пространственного созерцания, относящихся к области геометрических истин, и необходимых объектов мыслимых вещей, составляющих область универсальных логических истин. Значит, делает вывод Фреге, математические истины носят априорный характер. Арифметические истины, развивает дальше свою мысль Фреге, также не могут быть синтетическими истинами. По его мнению, возможны только три источника познания — наблюдение; априорная пространственная и временная интуиция; логическая способность. Наблюдение может сказать нам только, каковы вещи на самом деле. Априорная пространственная и временная интуиция сообщает нам, какими должны быть вещи, если нам приходится их воображать в пространстве и времени. Но ни наблюдение, ни интуиция не позволяют узнать, каковы вещи на самом деле, когда их не наблюдают или не воображают. Знание о вещах вне наблюдения и воображения способна дать только наша способность логического мышления.; Итак, все математические истины — априорные и аналитические. Данный вывод Фреге признает хотя и вероятным, но все же важным «исправлением» точки зрения Канта. Достигнув этого вывода, Фреге разворачивает критику всех определений понятия числа, не удовлетворяющих требованиям априорности и аналитичности. Числа не являются свойствами, с помощью которых предикативно различаются отдельные вещи. Приписывание числа вещи отличается от указания цвета лошади, длины дороги, веса куска металла. Сказать, что на этом дереве листья зеленые, означает сказать нечто о каждом листе и о листве дерева в целом. Утверждение же, что на этом дереве тысяча листьев, означает утверждение нечто, что не может быть приписано ни отдельному листу, ни листве дерева в целом. Таким образом, число не есть свойство того же рода, что и свойство «зеленый». Ответы на вопрос «Сколько?» требуют предварительного знания того, что требуется сосчитать. Когда задают подобный вопрос, сначала определяют множество вещей, подлежащих счету, — деревья, автомобили, дома, людей, деньги и т. п. Ответы на вопросы «Какой длины эта вещь?», «Сколько она весит?» такого знания не требуют. Одно и то же множество вещей может быть сосчитано разными способами и соответственно представлено разными числами. Ботинки можно сосчитать как четыре ботинка, как две пары ботинок, как два правых и два левых ботинка. Это также доказывает, что число не является свойством физических вещей, неотъемлемо присущим им наподобие протяженности или веса. Простыми аргументами против того, что числа есть свойства вещей, служат, согласно Фреге, числа 0 и 1 — отсутствие каких либо вещей, соответствующих первому, и двусмысленность второго. В самом деле, невозможно определенно ответить, какой вещи соответствует число 0. Но в не меньшей степени неопределенен, доказывает Фреге, и вопрос относительно числа 1. «Мы вновь задаем вопрос: Какой смысл в том, чтобы какому-нибудь предмету прилагать свойство «один», если сообразно пониманию каждый предмет может как быть, так и не быть одним? Каким образом на столь расплывчатом понятии может основываться наука, которая снискала себе славу как раз самой большей определенностью и точностью?». А ведь именно из 1 посредством последовательного добавления все новых единиц порождается натуральный ряд чисел — фундамент всей математики. Счету подлежат все вещи универсума, материальные и идеальные, реальные и воображаемые. Следовательно, числа есть универсальные свойства. Высказывания о числах — не свойства вещей, не опытные истины, не субъективные представления и, хотя и функционируют наподобие прилагательных, не прилагательные. Они существуют объективно, независимо от того, кто их мыслит, вне времени и пространства и не подвержены каким-либо изменениям. Следовательно, они могут быть только понятиями. Понятия — не субъективные представления, не тождественны предикатам. Предикат может обозначать число, но только если это число подпадает под определенное понятие. Свойство «Земля имеет одну Луну» — свойство не представления, не слова, а понятия Луна Земли. Число как понятие объясняет, почему можно считать физические и нефизические вещи по отдельности и вместе; почему можно образовать число 0, которому не соответствует ни одна вещь. Например, известно, что планета Венера не имеет спутников. Но существует понятие Луна Венеры, которому можно приписать число 0 посредством утверждения «Венера имеет 0 Лун». Вывод Фреге категоричен: «Число не абстрагируется от вещей по типу цвета, веса, твердости и не является свойством вещей в том смысле, как эти последние. Все еще остается вопрос, к чему относится то, что высказывается посредством указания на число. Число — не вещественно, но также и не субъективно, оно не является представлением. Число не возникает прибавлением вещи к вещи. Также ничего в этом отношении не меняет и придание имени соответственно каждому прибавлению. Выражения «многое», «множество», «множественность» из–за их неопределенности не годятся для объяснения числа». Дальше, через определение числа как объема «равночисленных понятий», предпосылкой коего является приравнивание «равночисленных понятий» к специфическим логическим объектам. Выходит, что дефиниция «число» не принадлежит к первичной категориальной дихотомии, озвученной в вопросе, что уже делает нереалистичным однозначный ответ на него.

Проблема актуальной/потенциальной бесконечности и включение данных дефиниций в математический тезаурус. Разбор оставшихся направлений философии математики.

Вслед за Фреге в этой области работал Рассел, попытавшийся исключить использование импредикативных определений с помощью «теории типов». Однако его понятия множества и бесконечности, а так же аксиома сводимости оказались нелогичными. Основной проблемой было то, что не учитывались качественные различия между формальной и математической логикой, а так же наличие лишних понятий, в том числе и интуитивного характера. В итоге теория логицизма не смогла устранить диалектических противоречий парадоксов, связанных с бесконечностью. Имели место лишь принципы и методы, которые позволяли избавиться хотя бы от непредикативных определений. В свох же рассуждениях Рассел был наследником Кантора.

В конце XIX — начале XX в. распространение формалистической точки зрения на математику было связано с развитием аксиоматического метода и той программой обоснования математики, которую выдвинул Гильберт. На степень важности этого факта указывает то, что первой проблемой из двадцати трёх, которые он поставил перед математическим сообществом, была проблема бесконечности. Формализация была необходима для доказательства непротиворечивости классической математики, «исключив при этом из неё всю метафизику». Учитывая средства и методы, которыми пользовался Гильберт, его цель оказалась принципиально невыполнимой, но его программа имела огромное влияние на все последующее развитие оснований математики. Гильберт достаточно долго работал над этой проблемой, построив первоначально аксиоматику геометрии. Поскольку решение проблемы оказалось достаточно успешным, он решил применить аксиоматический метод к теории натуральных чисел. Вот что он писал в связи с этим: «Я преследую важную цель: именно я хотел бы разделаться с вопросами обоснования математики как таковыми, превратив каждое математическое высказывание в строго выводимую формулу.» От бесконечности при этом планировалось избавиться с помощью сведения её к некому конечному числу операций. Для этого он обращался к физике с её атомизмом, дабы показать всю несостоятельность бесконечных величин. Фактически Гильберт поставил вопрос о соотношении теории и объективной реальности (классический пример несоотносимости математического понятийного базиса и данной нам в опыте объективной реальности).

По сути своей дальнейшее развитие математики продемонстрировало несостоятельность программы Гильберта. Это сделал уже Гёдель в своих ранних публикациях, обнаружив, в сущности, что диалектика наличествует в процессе познания.

1) Гёдель показал невозможность математического доказательства непротиворечивости любой системы, достаточно обширной, чтобы включать в себя всю арифметику, доказательства, которое не использовало бы каких-либо иных правил вывода, кроме тех, что имеются в самой данной системе. Такое доказательство, которое использует более мощное правило вывода, может оказаться полезным. Но если эти правила вывода сильнее логических средств арифметического исчисления, то уверенности в непротиворечивости используемых в доказательстве допущений не будет. Во всяком случае, если используемые методы не будут финитистскими, то программа Гильберта окажется невыполнимой. Гёдель как раз и показывает несостоятельность расчетов на нахождение финитистского доказательства непротиворечивости арифметики.

2) Гёдель указал на принципиальную ограниченность возможностей аксиоматического метода: система Principia Mathematica, как и всякая иная система, с помощью которой строится арифметика, существенно неполна, т. е. для любой непротиворечивой системы арифметических аксиом имеются истинные арифметические предложения, которые не выводятся из аксиом этой системы.

3) Теорема Гёделя показывает, что никакое расширение арифметической системы не может сделать ее полной, и даже если мы наполним ее бесконечным множеством аксиом, то в новой системе всегда найдутся истинные, но не выводимые средствами этой системы положения. Аксиоматический подход к арифметике натуральных чисел не в состоянии охватить всю область истинных арифметических суждений, и то, что мы понимаем под процессом математического доказательства, не сводится к использованию аксиоматического метода. После теоремы Гёделя стало бессмысленно рассчитывать, что понятию убедительного математического доказательства можно будет придать раз и навсегда очерченные формы.

Использованная литература:

И.Н. Бурова. Парадоксы теории множеств и диалектика. Наука, 1976.

M.D. Potter. Set theory and its philosophy: a critical introduction. Oxford University Press, Incorporated, 2004.

Жуков Н.И. Философские основания математики. Мн.: Университетское, 1990.

О.М. Мижевич. Два способа преодоления парадоксов в теории множеств Г. Кантора.

С.И. Масалова. ФИЛОСОФИЯ ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ МАТЕМАТИКИ. Вестник ДГТУ, (4), 2006.

С.Н. Тронин. Краткий конспект лекций по дисциплине '«Философия математики»'. Казань, 2012.

Гришин В.Н., Бочвар Д.А. Исследования по теории множеств и неклассическим логикам. Наука, 1976.

Кабаков Ф.А., Мендельсон Э. Введение в математическую логику. Издательство «Наука», 1976.

А.В. Светлов Философия математики. Основные программы обоснования математики.

Г. Фреге Основоположения арифметики. Логико-математические исследования о понятии числа.