Первые 10 логико-математических головоломок от дуэта французских авторов-завсегдатаев «Парантезы»: подбрасывание монеток, вытягивание палочек, рулетка, скрывающиеся за дверьми козы, столы-стулья-пивные кружки, взвешивание быков, рои пчёл и догоревшие свечи.

Первые 10 логико-математических головоломок от дуэта французских авторов-завсегдатаев «Парантезы»: подбрасывание монеток, вытягивание палочек, рулетка, скрывающиеся за дверьми козы, столы-стулья-пивные кружки, взвешивание быков, рои пчёл и догоревшие свечи.

1

ТРУДНОСТИ ПОДСЧЁТА

Находясь на смертном одре, старый верблюдовод призывает своих сыновей, чтобы сообщить им свою последнюю волю: «Как только я умру, поделите моих животных: старшему сыну я оставляю половину, среднему — треть, а младшему — девятую часть. Ни один верблюд не должен быть продан или отдан прежде чем они будут поделены».

Отец умирает, и его верблюды переходят к сыновьям. Однако есть одна загвоздка: животных 17, а данное число невозможно разделить ни на 2, ни на 3, не говоря уже о 9.

Решение подсказывает сосед. Что он предлагает?

Решение

Сосед добавляет к 17 верблюдам одного своего. Из 18 верблюдов старший получает 9, средний — 6, а младший — 2…, а последнего сосед забирает обратно.

За кулисами

Элегантное жульничество

Предложенное решение устраивает всех (в том числе тех, кто пытается решить головоломку): ни один верблюд не был продан или отдан, поэтому сыновья довольны; воля отца исполнена; а сосед получает своего верблюда обратно.

Но существует и другое решение: поскольку разделить 17 верблюдов на 2, 3 или 9 невозможно, сыновья могли округлить числа в большую сторону. В таком случае, старший получил бы 8,5 (после округления — 9), средний — 5,7 (после округления — 6), а младший — 1,9 (после округления — 2). Само собой, величина округления в каждом из трёх случаев разная: старший в результате округления приобретает 0,5, средний — 0,33, а младший — 0,11. То есть старший приобретает почти в 5 раз больше младшего, что кажется несправедливым. В то же время, решение, предложенное соседом, также подразумевает неравенство.

При добавлении ещё одного верблюда мы делим не 17, а 18, что позволяет получить видимость удовлетворительного решения:

Однако в таком случае делятся не все животные, а 17/18 их общего числа, то есть 94%. Не зная, что делать с остальными 6%, мы распределяем их между тремя братьями в неравных пропорциях.

Если бы отец делил 17 литров дорогого коньяка, его волю легко было бы исполнить в точности. Однако в случае с верблюдом возникает проблема: животных нельзя разрезать на части, а даже если бы можно было, всё равно пришлось бы оставить часть в стороне, тогда как отец хотел разделить между сыновьями всё своё имущество. Таким образом, поскольку не существует на 100% верного решения, мы склонны принимать то, которое предлагает сосед, хотя на самом деле оно ничуть не более удовлетворительное, чем решение с округлением.

Почему же мы предпочитаем решение с добавлением ещё одного верблюда, а не решение с округлением? Дело в особом статусе, которым мы наделяем целые числа. Они создают впечатление справедливости, так как их нет необходимости округлять в чью-либо пользу. Однако справедливость, вытекающая из участия соседа, — лишь иллюзия. В этом случае старший, опять же, оказывается в выигрыше, а младший — в проигрыше. Добавляя 18-го верблюда, мы создаём воображаемую ситуацию, которая, как нам кажется, предоставляет справедливое решение. На самом же деле она просто скрывает неравенство, которое очевидно при округлении.

Пытаясь решить нерешаемую головоломку, мы прибегаем к искажению реальности. Это красноречиво демонстрирует силу, которую числа приобрели в нашем обществе. Например, экономические показатели (уровень безработицы, покупательная способность, экономический рост) были созданы с целью помочь нам оценить реальное положение дел. Однако политики очень скоро начали манипулировать реальностью, дабы получить желаемые цифры. Именно это имел в виду английский экономист Чарльз Гудхарт, когда в 1975 году сказал: «Когда мера становится целью, она перестаёт быть хорошей мерой». Данный принцип, известный сегодня как закон Гудхарта, демонстрирует, что отныне не цифры отражают реальность, а реальность подстраивается под цифры.

Не будем усложнять себе жизнь

Английский философ Уильям Оккам оказал значительное влияние на средневековую философию. Он был сторонником номинализма, учения, основанного на понятии универсалий, то есть качеств, присущих многочисленным объектам. Например, «чёрный фон», «чёрная машина» и «чёрная зависть». Оккам задался вопросом: существует ли чёрный цвет сам по себе или же он является лишь свойством, которого не существовало бы без «чёрных фонов», «чёрных машин» и «чёрной зависти»? Если Платон отвечал на данный вопрос утвердительно (в мире идей чёрный цвет наделён реальным существованием), то Аристотель и Оккам отвечали отрицательно: слово «чёрный» для них не обозначает никакого реально существующего объекта; это всего лишь слово (отсюда название «номинализм»).

Может показаться, что всё это — переливание из пустого в порожнее, и не имеет ничего общего с реальной жизнью; однако Оккам проницательно обратил данную идею в свою пользу, когда папа попытался присвоить богатства ордена францисканцев, к которому принадлежал философ. Оккам заявил, что «ордена францисканцев» не существует, а существуют лишь отдельные монахи-францисканцы. Таким образом, осуждать этот орден означало бы приписывать реальное существование слову. Это, в свою очередь, было бы равнозначно сотворению нового существа, что под силу лишь Богу. Чтобы избежать обвинений в богохульстве, папа вынужден был отказаться от своих притязаний.

Принцип «не следует умножать сущности без необходимости» позже стал известен как бритва Оккама. Аристотель выражал ту же идею следующим образом: «Лучше брать меньше начал и в ограниченном числе». Это фундаментальный для научного подхода принцип. В математике лучше свести к минимуму число аксиом при создании теоремы; в физике лучше не выдвигать фантастические гипотезы при объяснении некоего явления. Дабы продемонстрировать важность данного принципа, философ Бертран Рассел привёл следующий забавный пример:

«Если бы я стал утверждать, что между Землёй и Марсом вокруг Солнца по эллиптической орбите вращается фарфоровый чайник, никто не смог бы опровергнуть моё утверждение, добавь я предусмотрительно, что чайник слишком мал, чтобы обнаружить его даже при помощи самых мощных телескопов».

Точно так же, наше желание найти внеземную жизнь не может служить аргументом в пользу её существования. А добавление 18-го верблюда, которое без необходимости увеличивает количество элементов, не должно вводить нас в заблуждение, заставляя нас думать, будто мы можем решить неразрешимую головоломку.

2

РАЗУМ И ЧУВСТВА

Добро пожаловать в игру!

Тьерри берёт колоду из 52 карт, открывает первые две и предлагает вам угадать, какая карта будет следующей. Если вы угадаете карту, то получите от него 10 евро; если нет — то должны будете заплатить ему 1 евро плюс 2 цента за обслуживание.

Антуан предлагает вам купить за 1 евро лотерейный билет, в котором вам нужно будет выбрать два числа от 1 до 100. Всего есть 100 карт, пронумерованных от 1 до 100. Будет вытянута одна карта: если окажется, что она содержит одно из выбранных вами чисел, вы получите 10 евро.

С кем вы предпочитаете сыграть: с Тьерри или с Антуаном?

Решение

С чисто математической точки зрения, обе игры одинаковы:

• В первой вы имеете 1 шанс из 50 выиграть 10 евро и 49 шансов из 50 проиграть 1,02 евро.
• Во второй вы имеете 1 шанс из 50 выиграть 10 евро, но в любом случае должны заплатить 1 евро.

Математические шансы этих двух игр можно выразить так:

Игра 1

Игра 2

Это значит, что если вы сыграете бесконечное количество раз, то в итоге проиграете 80 центов, какую бы из игр вы ни выбрали.

За кулисами

Логос и аффект

Итак, обе игры предоставляют вам одинаковые шансы выиграть (или проиграть) одну и ту же сумму. Тем не менее, вы, вероятно, сделали выбор в пользу одного из вариантов (если нет, то вы либо абсолютно рациональный человек, либо знаете, как подсчитать математические шансы). Каким бы ни был ваш выбор, он демонстрирует, насколько чувства влияют на наш разум. Например, люди, выбирающие вторую игру, обычно заключают, что с неудачей легче смириться, если она имеет форму невыигрышного лотерейного билета, чем проигранной игры. При прочих равных, проигрыши вызывают более негативные эмоции, чем затраты. Для тех же, кто отдаёт предпочтение первой игре, она ассоциируется с риском, в котором есть нечто романтичное и даже благородное. Возможно, вас оттолкнули 2 цента за обслуживание, так как это напоминает практики некоторых недобросовестных компаний. Но на самом деле данная сумма нужна просто для того, чтобы обе игры имели одинаковый ожидаемый выигрыш.

Давно известно, что в ситуации, когда нужно принять решение, чувства играют против разума. Вот почему Никколо Макиавелли в «Государе» и особенно в «Рассуждениях о первой декаде Тита Ливия» призывает правителей принимать решения, исходя из трезвого расчёта. По мнению этого мыслителя эпохи Возрождения, необходимо отбросить любые эмоции и нравственные принципы. Находясь под влиянием ненависти или страха, военачальник может принять решение, которое снизит его шансы на победу.

500 лет спустя вопрос о роли чувств в принятии решений сыграл важную роль в разработке ИИ. Целью было создать разум, наделённый внушительными вычислительными способностями и лишённый субъективных эмоций. Сегодня ИИ всё чаще поручаются задания по управлению транспортными средствами и вынесению судебных приговоров.

Трамвай «Этика»

Чувства играют роль не только в принятии решений, но и в моральном выборе. Чтобы убедиться в этом, обратимся к мысленному эксперименту, известному как проблема вагонетки, сформулированному англо-американским философом Филиппой Фут:

«Предположим, что машинист управляет едущим трамваем, который может только свернуть с одной колеи на другую; пять человек работают на одной колее и один — на другой; любой, кто окажется на колее, по которой он поедет, будет убит».

Если ничего не предпринять, трамвай убьёт 5 человек; если переключить рычаг и перевести трамвай на другую колею, будет 1 погибший (машинист не знаком ни с кем из этих 6 людей, поэтому нет причин считать, что он предпочтёт пожертвовать тем или иным человеком). Это трудный выбор: в обоих случаях будут потеряны человеческие жизни; тем не менее, мы склонны считать, что лучший выбор — это тот, который подразумевает меньшее количество жертв.

А теперь представьте себе другую ситуацию, при которой трамвай едет по одной-единственной колее навстречу 5 людям и не имеет возможности свернуть. Вы стоите на мосту, который проходит над рельсами. Рядом с вами находится очень тучный человек и вы понимаете, что если бы он вдруг оказался на рельсах, то смог бы остановить движение трамвая. Этот человек перегнулся через перила, наблюдая за происходящим, и вам достаточно лишь легонько его подтолкнуть, чтобы спасти 5 человек. Каковы ваши действия?

Когда проблема формулируется таким образом, большинство людей отвечают, что убийство аморально; как следствие, они позволяют трамваю переехать 5 людей. В первой ситуации мы оказываемся перед выбором и рационально выбираем меньшее зло, тогда как во второй чувствуем, что должны сами совершить зло, чтобы предотвратить другое, ещё большее зло. Тем не менее, переключить рычаг, чтобы перевести трамвай на другую колею, и толкнуть человека на рельсы, чтобы остановить трамвай, — это равноценные действия: оба приводят к смерти 1 человека и спасению 5.

Чтобы понять, что здесь происходит, необходимо обратиться к Иммануилу Канту, который в «Метафизике нравов» пишет:

«В системе природы человек (homo phaenomenon, animal rationale) — незначительное существо, имеющее ценность, одинаковую с другими животными как продуктами земли (pretium vulgare). Даже то, что человек превосходит их рассудком и может ставить себе цели, придаёт ему лишь внешнюю ценность его пригодности (pretium usus), а именно одного человека для другого, т. е. цену как товару в обращении с этими животными как вещами, в котором он всё же имеет более низкую цену, чем всеобщее средство обмена — деньги, ценность которых называется поэтому превосходной (pretium eminens).

Однако человек, рассматриваемый как лицо, т. е. как субъект морально практического разума, выше всякой цены; ведь как такого (homo noumenon) его должно ценить не просто как средство для целей других, да и своих собственных целей, но как цель самое по себе, т. е. он обладает некоторым достоинством (некоей абсолютной внутренней ценностью), благодаря которому он заставляет все другие разумные существа на свете уважать его, может сравнивать себя с каждым другим представителем этого рода и давать оценку на основе равенства».

Человек не имеет цены — он имеет ценность. Поэтому нет оснований считать, что оправданно пожертвовать 1 человеком ради спасения 5. С людьми нельзя обращаться, как с числами. Именно поэтому по итогам выборов большинство не имеет права перебить меньшинство. Может показаться странным, что 1 — не обязательно меньше, чем 5. Однако именно математика может помочь нам прояснить данную трудность благодаря понятию бесконечности, знаменитый символ ∞ которой в 1655 году ввёл Джон Валлис. Бесконечность ведёт себя не так, как обычное число. Например:

Бесконечность — это сколько?

Понятие бесконечности разработал немецкий математик Георг Кантор, отмечавший, что не существует одной-единственной бесконечности: множество целых чисел (1, 2, 3…) имеет меньшую бесконечность, чем множество вещественных чисел (целые числа, дроби, а также числа, которые нельзя записать в виде дроби: π или √2). Кантор обозначает ℵ0 бесконечность целых чисел и ℵ1 бесконечность вещественных чисел и утверждает (он называет это континуум-гипотезой), что 2 ℵ0 = ℵ1.

Возвращаясь к проблеме вагонетки, мы можем приписать каждому фигурирующему в ней человеку значение, равное бесконечности (которое мы обозначим ℵ0). Таким образом, независимо от того, имеем ли мы 1 человека или 5, значение в каждом случае будет равно ℵ0. А вот если бы стоял выбор между убийством одного человека и убийством всего человечества, то мы имели бы противопоставление между ℵ0 и ℵ1. В таком случае, мы могли бы рационально выбрать пожертвовать 1 человеком ради спасения всего человечества.

3

КРАСНОЕ И ЧЁРНОЕ

Рассмотрим игру в рулетку. При каждом вращении (если не считать зеро, которое зелёного цвета) есть 50% шанс, что выпадет красное, и 50% шанс, что выпадет чёрное. С учётом этого, какая из приведённых ниже последовательностей, по-вашему, более вероятна?

Последовательность 1: красное, красное, красное, красное, красное.

Последовательность 2: чёрное, красное, чёрное, чёрное, красное, чёрное.

Решение

Вы должны без колебаний выбрать первую последовательность, поскольку вторая состоит из 6 элементов, то есть на 1 больше, чем первая, что вдвое снижает вероятность данной комбинации.

Но что если обе последовательности состоят из равного числа элементов? Вот так:

Красное, красное, красное, красное, красное.

Чёрное, красное, чёрное, чёрное, красное.

Некоторым покажется, что вторая последовательность более вероятна. Однако это не так, ведь, согласно закону больших чисел, после нескольких сотен вращений количество красных и чёрных секторов уравнивается. Так что, статистически, вероятность обеих последовательностей одинакова. Каждое следующее вращение рулетки не зависит от предыдущих: тот факт, что в прошлый раз выпало красное, не снижает вероятности того, что красное выпадет в следующий.

За кулисами

Бросок костей

Случайность вызывает у нас тревогу. Человек испытывает потребность в контроле. Неопределённость выбивает его из колеи. Более того, если всё случайно, то подобие божественного замысла невозможно. Если возникновение жизни было простой случайностью, то все мы — лишь фишки в бессмысленной игре. А это не просто вызывает тревогу, а приводит в отчаяние. Поэтому мы ищем утешение в учениях великих мыслителей, убеждающих нас, что нет ничего случайного. Например, математик Пьер-Симон де Лаплас пишет в «Опыте философии теории вероятностей»:

«Текущие события связаны с предыдущими на основе очевидного принципа, согласно которому вещь не может начать существовать без причины, которая её порождает».

К счастью, случайность отчасти поддаётся контролю: если вы бросаете кости дважды, то имеете больше шансов получить число 7, чем любое другое число от 2 до 12. Это не гарантирует, что 7 выпадет при следующем броске или при послеследующем. Однако если вы бросите кости, скажем, 100 раз, то больше всего раз выпадет именно 7. То есть хоть знание вероятностей и помогает нам предсказать будущее, предсказать можно только наиболее частый результат из большого количества попыток; а вот предсказать, что выпадет при следующем броске костей, невозможно. Контролировать случай можно лишь в долгосрочной перспективе, а не в краткосрочной.

Избавило ли бы нас господство над случаем от тревоги? Вовсе нет. И утверждение о том, что жизнь — это череда причин и следствий, ничего не меняет. Мы по-прежнему бессильны перед неизвестным. Неважно, случайно будущее или обусловлено — оно в любом случае нам неизвестно.

От гадалок к статистикам

В каждом обществе были прорицатели и шаманы, друиды и гаруспики. XXI век — не исключение. Наши современные прорицания называются математическими моделями, вероятностями, статистическими данными. Современные жрецы гадают не при помощи внутренностей животных, поведения птиц, курения благовоний и танцев, а при помощи вычислений, таблиц и графиков. Они черпают свою силу, в частности, из трудов Пьера де Ферма и Блеза Паскаля, которые одними из первых разработали теорию вероятностей, раздел математики, стремящийся предсказать непредвиденное и подчинить случай.

Наши оракулы делают предсказания не только в сфере экономики, но и в сфере медицины — например, когда возникает новый вирус, и необходимо понять, как быстро он будет распространяться. Однако, как это было в случае с птичьим гриппом, коровьим бешенством, SARS и H1N1, математические модели, созданные на основе неполных или неверных данных, выдали сильно завышенные цифры, спрогнозировав десятки миллионов смертей, тогда как на самом деле их оказалось не более сотни. Но власть имущие предпочитают вымышленные цифры неопределённости.

Люди, бессильные перед лицом будущей неопределённости, пытаются истолковать всевозможные знаки, апеллируя при необходимости к несуществующим математическим законам. Вернёмся к нашему изначальному вопросу, но рассмотрим вместо вращения рулетки подбрасывание монеты. Если 5 раз подряд выпадет решка, это не означает, что в шестой раз выпадет орёл. Тем не менее, ум под влиянием закона больших чисел склонен полагать, что результаты по необходимости должны стремиться к некоему равновесию, и поэтому в следующий раз с более высокой вероятностью выпадет орёл.

Врач против соседа по палате

Представим себе человека, имеющего дело с совершенно верным и непредвзятым расчётом вероятности. Оказавшись в подобной ситуации, человеческий ум, пытаясь интерпретировать знаки, нередко отвергает математику. Таков известный случай врачей, использующих клинический протокол, составленный на основе соотношения рисков и выгод. Предположим, что в случае с конкретным лечением, за исключением 0,1% больных, жалующихся на побочные эффекты при отсутствии улучшения, 99,99% выздоровели и не испытали никаких побочных эффектов. Эта многообещающая статистика, однако, не покажется столь убедительной по сравнению со словами соседа по палате, рассказывающего о своём болезненном опыте с этим самым лечением. Трудно не усмотреть знак свыше в рассказе этого человека, который по воле случая оказался в одной с нами палате. В итоге один пациент отказывается следовать протоколу, который помог сотням тысяч людей.

Данное явление известно как эффект привязки. Это когнитивное искажение, при котором информация, получаемая первой, сильнее всего закрепляется в нашей памяти и оказывает наибольшее влияние на наши последующие решения.

Таковы люди. Одни, на основе одного-единственного свидетельства, отвергают результаты надёжных исследований. Другие, отвергая случай, обращаются с ненадёжным математическим моделям.

4

ВЫТЯГИВАНИЕ ПАЛОЧЕК (МИКАДО, БИРЮЛЬКИ)

Друг предлагает вам сыграть в классическую игру: на столе находится куча из 20 палочек, из которых игроки по очереди вытягивают по 1, 2 или 3. Тот, кому достаётся последняя палочка, проигрывает. Вы тянете первым; сколько палочек вы должны вытянуть, чтобы гарантировать себе победу?

Решение

Достаточно вытянуть 3 палочки. Это позволит вам контролировать весь дальнейший ход игры. Если соперник вытянет 1 палочку, вам необходимо опять вытянуть 3; если он вытянет 2, вы тоже должны вытянуть 2; если он вытянет 3, вы должны вытянуть 1. Если следовать данной стратегии, вашему сопернику каждый раз будет доставаться последняя палочка.

За кулисами

Думать, как лосось

Не зная, какой тактике необходимо следовать, люди часто превращают данную игру в психологический поединок и раз за разом демонстрируют сопернику своё превосходство, вытягивая 3 палочки, а затем пытаясь компенсировать это, вытягивая по 1. Однако решение — это чистая арифметика.

Когда перед нами 20 палочек, нам бывает трудно мыслить ясно, поскольку число слишком большое. Поэтому более простой подход — это исходить не из того, что у нас перед глазами, а из желаемой итоговой ситуации: последняя палочка достаётся нашему противнику. Для этого мы должны плыть против течения, как лосось; это требует больших усилий, однако в итоге мы оказываемся вознаграждены.

Поскольку в конце у проигравшего должна остаться 1 палочка, нас интересует предшествующая этому ситуация, когда есть 2, 3 или 4 палочки. Чтобы оказаться в этой ситуации, нам нужно, чтобы перед этим перед нашим противником было максимум 5 палочек; если бы палочек было 6, он мог бы взять 1 и оставить нам 5, и тогда мы бы проиграли. Если перед нами 5 палочек, у нас есть 3 варианта:

1. вытянуть 1, и тогда останется 4; наш противник затем вытянет 3, и мы останемся с 1;
2. вытянуть 2, и тогда останется 3; наш противник затем вытянет 2, и мы останемся с 1;
3. вытянуть 3, и тогда останется 2; наш противник затем вытянет 1, и мы останемся с 1;

Считая в обратную сторону, мы замечаем, что если мы находимся в невыгодном положении (например, остаётся 6 палочек, и сейчас наш ход), наш противник может адаптировать свою стратегию к нашей таким образом, что, как бы мы ни поступили, мы всё равно в итоге проиграем. Как бы в такой ситуации поступил наш противник? Подведём итог:

Если мы вытягиваем 1 / 2 / 3 палочки, а он вытягивает 3 / 2 / 1, то общее число палочек, вытянутых обеими игроками, составит 4 / 4 / 4. Таким образом, необходимо всегда исходить из стратегии противника, делая так, чтобы число палочек, вытягиваемых обоими игроками, в сумме составляло 4.

Продолжим движение в обратном направлении. В конце остаётся 1 палочка; за 2 хода до этого должно оставаться 1 + 4 = 5, ещё за 2 до этого 5 + 4 = 9, ещё за 2 хода до этого 9 + 4 = 13, ещё за 2 хода до этого 13 + 4 = 17. Здесь нужно остановиться, так как иначе мы получим 21 палочку, тогда как в начале игры их всего 20. Из этого мы можем заключить, что в самом начале мы должны вытянуть 3 палочки, чтобы получить 17. Тогда, сколько бы ни вытянул противник, нам останется лишь добавить столько, чтобы в итоге получилось 4: если он вытянул 1, мы тянем 3; если он вытянул 2, мы тянем 2; если он вытянул 3, мы тянем 1. И путь к победе открыт.

Между алгеброй и алгоритмикой

Метод, состоящий в том, чтобы начинать с конца, схож с алгебраическим методом. Алгебра зародилась в Багдаде благодаря персидскому математику Аль-Хорезми. Тщательно изучив греческие и индийские тексты по арифметике, он около 820 года написал трактат по алгебре «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» («Краткая книга восполнения и противопоставления»), в котором изложил методы решения уравнений. «Восполнение», о котором он говорит, состоит в преобразовании вычитания с одной стороны в сложение с другой. Например:

«Противопоставление» заключается в устранении одного и того же значения с обеих сторон. Например:

«Противопоставление» он называет аль-мукабала, а «восполнение» — аль-джебр (отсюда происходит слово «алгебра»). Любопытно отметить, что аль-джебр происходит от глагола джабара, означающего «восстановить сломанную кость». Именно поэтому части уравнения называются «членами», как если бы они были частями тела.

Лишь в середине XII века, то есть 300 лет после смерти Аль-Хорезми, его труд был переведён Робертом Честерским и Герардом Кремонским. При переводе на латынь имя Аль-Хорезми было изменено на Альгоризми, а затем и на Альгоритми, откуда произошло слово «алгоритм». Это также не случайность, поскольку Аль-Хорезми работал над алгоритмами для решения уравнений.

Алгоритм — это чёткая процедура, последовательность шагов, позволяющая решить задачу. Кулинарный рецепт может считаться алгоритмом. А выше мы составили алгоритм для игры в вытягивание палочек.

Да здравствует свобода (или нет)

Стратегия игры состоит в том, чтобы поставить противника в положение, которое мы полностью контролируем. Несмотря на видимость свободы (он может сам выбирать, сколько палочек вытягивать), он на самом деле является заложником навязанной ему схемы. В статистике степень свободы в той или иной ситуации определяется количеством переменных, которые не зависят друг от друга в уравнении. Степень свободы в игре, в таком случае, составит 2 (количество игроков) — 1 (так как противник подчиняется нашему плану) = 1 (поскольку мы вольны выбирать, выиграть или предоставить шанс противнику). Что касается степени свободы нашего противника, то она равна 0. Его свобода — лишь видимость, как и свобода человека вообще, по мнению Спинозы:

«Человеческая свобода заключается в том, что люди сознают свои желания, но не знают причин, которыми эти желания обусловлены».

Согласно Спинозе, человек свободен не в большей степени, чем космические тела, движение которых описывается уравнениями. Точно так же, согласно социальному детерминизму, дети успешных родителей имеют больше шансов получить высшее образование и высокооплачиваемую работу, чем дети бедных. Пьер Бурдьё и Жан-Клод Пассерон ещё в прошлом веке анализировали механизмы «социального воспроизводства», и новые исследования подтверждают, что социоэкономический статус родителей имеет определяющее влияние на социоэкономический статус детей, что приводит к увековечиванию неравенства.

Как и в игре в вытягивание палочек, тот, кто не контролирует уравнение (в данном случае, социальное), может выиграть только в том случае, если тот, кто его контролирует, позволит ему выиграть; однако, в таком случае, они будут не противниками, а партнёрами.

5

ОРЁЛ ИЛИ РЕШКА

На сцену выходит великий иллюзионист Жером Надрако и объявляет:

«Деньги… мы всю жизнь гонимся за ними, но знаем ли мы их истинную цену? Перед вами 3 одинаковые монеты. У каждой из них есть орёл и решка. Как по-вашему, если я подброшу все 3 монеты, какова вероятность, что все они упадут одной и той же стороной вверх? Позвольте мне вам помочь: из 3 монет как минимум 2 упадут одной и той же стороной вверх — это математика. Это значит, что вероятность того, что и третья монета упадёт той же, составляет 1 из 2. Математика не врёт. При каждом броске есть только 4 возможности:

1. 2 орла и 1 решка
2. 2 решки и 1 орёл
3. 3 орла
4. 3 решки

Опять, 1 шанс из 2, что все монеты упадут одинаковой стороной вверх».

Убеждает ли вас математическая аргументация Жерома Надрако? Какова вероятность того, что все 3 монеты упадут одной и той же стороной вверх?

Решение

Иллюзионист начинает с абсолютно верного утверждения о том, что как минимум 2 монеты из 3 упадут одной и той же стороной вверх. А вот его следующее утверждение о третьей монете ошибочно. Если монеты перед подбрасыванием не были пронумерованы, то ни одна из них не может считаться первой, второй или третьей. Говоря о третьей монете, Жером Надрако определяет её как таковую a posteriori, а это когнитивное искажение, которое делает его дальнейшие рассуждения неверными.

Иллюзионист играет на смешении 2 разных ситуаций: либо мы подбрасываем все три монеты одновременно, что гарантирует, что две из них упадут одной и той же стороной вверх, но не позволяет говорить о «третьей» монете a posteriori; либо мы подбрасываем монеты одну за другой, что позволяет говорить о «третьей» монете, но не гарантирует, что первые 2 упадут одной и той же стороной вверх.

Что касается комбинаций, которые имеют равные шансы выпасть, то их не 4, а 8:

ООО, ООР, ОРО, ОРР,

РРР, РРО, РОР, РОО

Из этих 8 возможных комбинаций лишь при ООО и РРР все 3 монеты падают одной и той же стороной вверх. Поэтому вероятность того, что все 3 монеты упадут одной и той же стороной вверх, составляет 2 из 8, или 1 из 4.

За кулисами

Подводные камни

Передвигаясь на машине, мы порой выбираем краткий путь. Однако дорога там, как правило, в плохом состоянии. Так же и с нашим умом. Он при любой возможности выбирает краткие пути, то есть делает интуитивные выводы, которые позволяют быстрее прийти к решению. Однако эти краткие пути очень часто испещрены когнитивными ловушками. Когнитивные искажения очень напоминают оптические иллюзии. Иногда мы прекрасно знаем, что две линии имеют одинаковую длину, но наши глаза всё равно твердят нам, что одна из них короче другой. Так и с мышлением.

Иллюзия Мюллера-Лайера — одна из самых известных оптических иллюзий и названа в честь немецкого психиатра, который и описал её в 1889 году. Состоит она из 2 отрезков одинаковой длины с разным «оперением»: один с «открытым», а другой с «закрытым». Нам кажется, что верхний отрезок короче нижнего, хотя на самом деле они одинаковы.

В нашей головоломке, поскольку 2 монеты из 3 гарантированно падают одной и той же стороной вверх, наш ум с готовностью верит в то, что третья с вероятностью 1 из 2 упадёт так же. В этом случае рациональное мышление должно первым делом пересилить интуицию и убедить нас в том, что последняя ошибается. Это непростая головоломка, поскольку контринтуитивные выводы труднее всего принять.

Фило…софизм

Именно попытки бороться с ошибочными суждениями способствовали возникновению философии. Кем бы был Сократ без своих собеседников, чьи умы, слишком спеша перейти от одной идеи к другой, и считая, что обладают истиной, попадают в ловушку? Работа философа состоит в том, чтобы замечать логические ошибки, которые маскируются под истину. Так зародился диалектический метод, заключающийся в вербальном пинг-понге с целью найти изъяны в цепочке рассуждений.

Именно так происходит в «Меноне», диалоге Платона, в котором Сократ спрашивает молодого раба, как увеличить площадь квадрата в 2 раза. Тот, убеждённый в том, что решение очевидно, отвечает, что необходимо удвоить стороны квадрата. Данный ответ ему подсказывает интуиция (точно так же поступают многие и сегодня). Однако, удвоив стороны квадрата, мы получим площадь в 4 раза большую, а не в 2, как требуется. Шаг за шагом, предварительно заставив собеседника осознать свою ошибку, Сократ подводит его к правильному решению, которое заключается в том, что необходимо сначала разделить квадрат по диагонали на два равных треугольника, а затем построить новый квадрат, используя проведённую диагональ в качестве одной из сторон. Таким образом, новый квадрат будет состоять из 4 треугольников, то есть будет в 2 раза больше.

Однако если Менон заблуждается по незнанию, некоторые другие собеседники Сократа — софисты, то есть одновременно ораторы и наставники. Платону было хорошо известно негативное значение слова «софистика», обозначающего ошибочную, хотя и искусно построенную цепочку рассуждений. Это касается, например, рассуждений Горгия в одноимённом диалоге. Этот софист, прямо как наш иллюзионист Надрако, умеет незаметно искажать истину, дабы убедить аудиторию в истинности собственных утверждений. Горгий одинаково убедителен, отстаивая два противоречащих друг другу тезиса. Истина не имеет для него значения. Важна лишь видимость.

Необходимо различать паралогизм и софизм: паралогизм — это когнитивная ловушка, в которую жертва попадает по незнанию, тогда как софизм — это искусно аргументированное рассуждение, призванное ввести аудиторию в заблуждение. Однако даже случайные ошибки имеют серьёзные последствия, когда влияют на решения высших государственных деятелей.

В 2002 году Даниэль Канеман получил Нобелевскую премию по экономике за свою теорию перспектив, показывающую, что, например, аномалии на фондовом рынке возникают из-за когнитивных искажений и эмоциональных решений. Канеман выделяет две системы мышления: систему 1 и систему 2. Первая — быстрая, интуитивная и эмоциональная, тогда как вторая — медленная, логическая и рациональная. А поскольку решения на фондовом рынке необходимо принимать всё быстрее, в действие всё чаще вступает система 1, подверженная когнитивным искажениям.

Один иллюзионист может скрывать другого

Поэтому важно сохранять бдительность. Смекнули ли вы, что Надрако — это анаграмма, и на самом деле за этой фамилией скрывается Джероламо Кардано? Этот итальянский математик эпохи Возрождения, прославившийся благодаря открытию мнимых чисел, также разрабатывал теорию вероятностей и… был известным карточным мошенником.

Чтобы не сбиться с пути, ведущего к истине, нам следует совместить знаменитую формулу Декарта cogito ergo sum с другой, гораздо более древней формулой Блаженного Августина: si fallor, sum («если я ошибаюсь, я есмь»). Мыслю, следовательно ошибаюсь. Это девиз, который также трудно опровергнуть: если сказать святому Августину, что он ошибается, говоря это, то это лишь подтвердит его существование, поскольку вы обращаетесь именно к нему.

6

ЗА ДВЕРЬЮ

Данная головоломка позаимствована из американской телевикторины Let’s Make a Deal, которую с 1963 по 1986 год вёл Монти Холл. В определённый момент перед игроком появляются 3 закрытых двери, за которыми скрываются автомобиль и 2 козы. Цель, само собой, — открыть дверь, за которой будет автомобиль.

Игрок выбирает дверь наугад. Но перед тем, как проверить, что за ней скрывается, ведущий открывает 1 из 2 других дверей, за которой находится коза. Затем он спрашивает игрока, хочет ли тот изменить свой выбор.

Вопрос: выгодно ли игроку пересмотреть свой изначальный выбор?

Решение

Вероятность того, что изначальное решение окажется верным, составляет 1 из 3; поэтому, если игрок не изменит своего решения, его шансы — 1 из 3. А вот если изменит, его шансы повысятся до 2 из 3. Так что в его интересах выбрать другую дверь.

За кулисами

Головоломка, которая заставит вас блеять

Данный вопрос долгое время обсуждался читателями журнала «Parade». Один из них даже задал его в рубрике «Спросите Мэрилин», которую вела американская писательница и журналистка Мэрилин вос Савант, обладательница самого высокого в мире IQ. Данный факт, подтверждённый специалистами из Книги рекордов Гиннесса, позже был оспорен и упоминание о нём исчезло из последующих изданий журнала. Что касается нашей головоломки, то Мэрилин вос Савант получила около 10 тысяч писем от читателей, разделившихся на два лагеря.

Представители первого считали так, как мы писали в нашем решении. Представители второго рассуждали следующим образом: после открытия 1 из дверей, их остаётся 2; автомобиль может с одинаковой вероятностью находиться за каждой из них, поэтому изменит игрок свой выбор или нет, его шансы на выигрыш будут одинаковыми. Одним словом, выигрыш — это дело случая, и открытие первой двери необходимо лишь для усиления саспенса.

Однако данный ход мысли содержит ошибку. Предполагается, что игрок вновь выберет 1 из 2 оставшихся дверей наугад. Это не совсем так: игрок ранее уже выбрал 1 дверь, а ещё 1 только что была исключена. Эти два пункта имеют решающее значение для расчёта вероятности, если остаются всего 2 двери.

Когда ведущий открывает дверь, очевидно, что за ней будет коза. Однако обратное неверно: если за этой дверью коза, это ещё не гарантирует, что ведущий её откроет. Он вполне может открыть другую дверь, за которой скрывается коза. Поэтому начинать с нуля, как предполагает данная теория, значит игнорировать предыдущие события, которые влияют на текущую ситуацию.

Вернёмся в детство

Чтобы лучше понять эти разные ситуации, лучшим способом будет вернуться к основам расчёта вероятностей: перечислению исходов. И да, когда мы имеем дело со сложными размышлениями, считать на пальцах, как ребёнок, — это иногда самый верный метод. Рассмотрим возможные исходы, держа в уме, что есть 3 двери, 2 козы и 1 автомобиль:

Исход 1: игрок изначально выбрал дверь с козой номер 1; ведущий открывает дверь с козой номер 2; за оставшейся дверью скрывается автомобиль.

Исход 2: игрок изначально выбрал дверь с козой номер 2; ведущий открывает дверь с козой номер 1; за оставшейся дверью скрывается автомобиль.

Исход 3: игрок изначально выбрал дверь с автомобилем; ведущий открывает дверь с одной из коз; за оставшейся дверью скрывается другая коза.

Как видим, в 2 случаях из 3 за оставшейся дверью скрывается машина. Поэтому в интересах игрока её выбрать.

7

ЗАГАДКА ФЕРДИНАНДА

Граф Фердинанд охраняет вход в загадочный дом. Чтобы войти, каждый гость должен дать правильный ответ. Когда перед дверью возникает первый человек, граф спрашивает его:

— 10?

— 3.

Первый гость может войти. Второго гостя граф спрашивает:

— 11?

— 4.

Это тоже правильный ответ. Появляется третий гостью, и Фердинанд спрашивает его:

— 12?

— 5.

Опять правильно. Четвёртого гостя граф спрашивает:

— 13?

Гость отвечает 6, и тоже входит. Следующего гостя граф спрашивает:

— 14?

— 7.

— Мне очень жаль, но ответ неверный.

Следующего он спрашивает:

— 9?

Тот отвечает 4 и входит.

Что должен был ответить отвергнутый гость, когда граф Фердинанд назвал число 14?

Решение

Мы должны найти то, что связывает 10 с 3, 11 с 4, 12 с 5, 13 с 6 и 9 с 4. Однако соответствующая кривая на графике не позволяет установить логическую взаимосвязь между абсциссой и ординатой. Почему? Потому что, проводя математический анализ, мы приняли как данность, что числа — это числа, тогда как это также слова, а слова порой обманчивы и заставляют нас путать означаемое и означающее, то есть написание/произношение слова и его смысл. В данном случае необходимо различать означаемое и означающее: 10 (dix) имеет 3 буквы; 11 (onze) имеет 4; и т. д. Поэтому в случае с 14 (quatorze) ответ должен быть 8.

За кулисами

Увидеть знак

Эта загадка посвящена знакам. Не знакам судьбы, а языковым знакам, о которых писал Фердинанд де Соссюр в «Курсе общей лингвистики». Знак выражает два способа представлять мир: мышление и называние. Например, знак «лошадь» содержит как означаемое (лошадь как реальность), так и означающее (звук слова, позволяющий нам понять, о чём идёт речь). Означающее разное в каждом языке: «cheval» во французском, «Pferd» в немецком, «horse» в английском. То есть множество разных означающих могут передавать одну и ту же реальность.

Реальность, однако, не универсальна. Один и тот же объект можно рассматривать с разных сторон.

Когда мы называем реальность, мы наделяем её звуковой формой и смыслом; эти два аспекта отчасти взаимосвязаны. Именно поэтому означаемое и означающее вместе образуют языковой знак.

В литературе, и особенно в поэзии, означаемое и означающее часто сливаются воедино. Например, в «Альбатросе» Бодлер использует звуковой эффект: последняя строка первого четверостишия «Le navire glissant sur les gouffres amers» построена на аллитерации i, g и r, которые вызывают в воображении лодку, качающуюся на волнах. Так же делается и в маркетинге, где сладким пищевым продуктам даются аппетитные названия, а фармацевтическим — псевдонаучные. Означаемое, то есть рекламируемый продукт, должно быть как можно более выгодно преподнесено при помощи означающего.

Как писал Анри Бергсон в своём эссе «Смех» (1900): «Мы не видим самих предметов; чаще всего мы ограничиваемся тем, что читаем приклеенные к ним ярлыки». В нашей загадке необходимо ориентироваться на ярлык и руководствоваться означающим, а не означаемым.

Столы, стулья и пивные кружки

В повседневной жизни, таким образом, означающее влияет на представление об означаемом, так как слова формируют наше восприятие реальности. Поэтому естественно стремиться к созданию языка, в котором выбор слов не влиял бы на наше восприятие того, что они означают, к совершенному языку, свободному от человеческого влияния, к языку, способному точно и одинаково для всех передавать реальность. Именно к этому стремится математика. Готфрид Вильгельм Лейбниц на протяжении всей своей жизни пытался разработать вычислительную машину, преобразующую любое утверждение в математическую форму. Он надеялся таким образом разрешить философские споры при помощи расчётов и найти правильные ответы на вопросы вроде: «Есть ли Бог?» и «Полезно ли есть шоколад?».

Лейбницу так и не удалось создать подобную машину, однако идея о создании универсального языка не была отброшена. В 1899 году математик Давид Гильберт решил обеспечить геометрию надёжными основаниями. Вместо того, чтобы по примеру Евклида интуитивно давать определение точки, линии и плоскости, Гильберт дистанцировался от реальности этих объектов и рассматривал лишь их сущность:

«Пояснение. Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем их А, В, С… ; вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем их a, b, c… ; вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем их α, β, γ…; точки называются также элментами линейной геометрии, точки и прямые называются элементами плоской геометрии и наконец точки, прямые и плоскости называются элментами пространственной геометрии или элементами пространства.

Мы мыслим точки, прямые, плоскости находящимися в известных взаимных отношениях и обозначаем эти отношения словами “лежат”, “между”, “параллельный”, “конгруэнтный” и “непрерывный”; точное и для математических целей плоное описание этих отношений даётся аксиомами геометрии».

Названия «точка», «прямая» и «плоскость» — лишь условности, поскольку в современной геометрии они не должны мыслиться как элементы, которые можно нарисовать карандашом на листке бумаги, а как категории, наделённые определёнными свойствами и отношениями. Гильберт отделяет геометрию от осязаемой реальности и утверждает: «Следует добиться того, чтобы во всех геометрических утверждениях слова “точка”, “прямая”, “плоскость” можно было заменить словами “стол”, “стул”, “пивная кружка”». Важны не слова, а скрывающаяся за ними реальность.

Тем не менее, даже в математике слова имеют последствия. Пифагор говорил:

«Называть вещи может не каждый, а только тот, кто постиг смысл и природу вещей».

Называть неизвестное

В математике выбор языкового знака часто имеет решающее значение; пример — обозначение неизвестного. Как можно назвать то, чего мы не знаем? Первый шаг сделал Диофант, обозначив неизвестную величину символом ς. Аль-Хорезми позже назвал её «шей» (по-арабски — «вещь»). Андалузские математики латинскими буквами транскрибировали её как «xay». Последний шаг сделал Декарт, оставив лишь первую букву — x.

Лауреат Филдсовской премии Лоран Лаффорг в 2002 году задался вопросом о взаимосвязи между математикой и языком:

«Когда вещь не названа, она остаётся неуловимой, невидимой, непостижимой. Чтобы начать её постигать, математики в своих долгих поисках изначально не имеют другого выхода, кроме как использовать описательные обороты, и может случиться так, что такие обороты занимают сотни страниц текста. И наоборот, когда после длительных размышлений, которые в истории иногда длятся столетия, появляются слова, позволяющие нам постичь вещи в их сущности, случается так, что определённые результаты, которые первоначально требовали для изложения и объяснения целых книг, выражаются в нескольких строках ослепительной ясности. Слова извлекают из тумана, окутывавшего их, истины, которые ждали раскрытия; они говорят о вещах такими, какие они есть, они улавливают их сущность и выражают их с точностью и в деталях».

Это было отзвуком того, о чём столетием ранее говорил Анри Пуанкаре:

«Это одна из характеристик, по которой мы распознаём весьма продуктивные факты; именно они позволяют совершать такие удачные нововведения в языке. Исходный факт иногда малоинтересен; он многократно сообщался, не принеся пользы науке; он приобретает ценность лишь в тот день, когда более проницательный мыслитель увидит связь, выделит её и обозначит словом».

Важно помнить, что числа — это, прежде всего, слова, и что quatre-vingt-neuf (буквально: четыре-двадцать-девять, что подразумевает двадцатеричную систему счисления) во французском — не то же самое, что neunundachtzig (буквально: девять и восемь десятков, что подразумевает десятичную) в немецком. Обозначающие числа слова и количество букв в этих словах предоставляют информацию о логике нумерации в каждом языке. Числа — это не только означаемое, но и означающее, которое свидетельствует об определённом взгляде на мир.

8

МУДРОСТЬ ТОЛПЫ

Представьте себе, что вы находитесь в толпе и держите в руках прозрачную банку с сотнями монет. Вы хотите узнать количество этих монет, но не можете открыть крышку; всё, что вы можете сделать, — это на глаз оценить количество через стекло. Вокруг вас находятся юристы, профессора, нейробиологи, инструкторы по парусному спорту, переводчики, писатели, танцовщики, архитекторы, рыбаки, астрономы, выдуватели огня, жонглёры, водолазы, сомелье, саксофонисты, врачи и канатоходцы — в общей сложности 500 человек. Кого вы спросите, чтобы получить самый точный ответ?

Решение

Спрашивать нужно не кого-то конкретного, а всех. Зная оценку, которую дал каждый, можно вычислить среднее значение, которое с высокой вероятностью будет довольно точно отражать реальное количество монет в банке (по крайней мере, точнее, чем самая точная из индивидуальных оценок).

За кулисами

Толпа имеет плохую репутацию: её часто считают безвольной массой, подверженной всякого рода манипуляциям. Платон сравнивает её с «огромным зверем», неспособным судить о благе:

«Если, общаясь с ними, он выставляет напоказ свои поэтические или иные произведения либо свое служение государству, он делает это большинство своим властелином сильнее, чем это вызывается необходимостью … он выполняет то, что одобряет большинство. А действительно ли это хорошо или прекрасно — разве слышал ты когда-либо, чтобы кто-то из них отдавал себе в этом отчёт и это не вызывало бы смеха?».

Платон настолько низкого мнения о толпе, поскольку она состоит из необразованных людей. Несколько столетий спустя Сёрен Кьеркегор пошёл ещё дальше и заявил, что толпа плоха не потому, что состоит из ограниченных людей, а потому, что объединение в группы мешает людям выражать своё истинное мнение:

«Где толпа, там и ложь. … Если бы каждый человек обладал истиной отдельно и молча, тем не менее, если бы они собрались в толпу (которая тогда приобрела бы решающее значение посредством голосования, через шум, через речь), ложь бы немедленно появилась».

А основатель Итальянской коммунистической партии Антонио Грамши, заключённый в тюрьму режимом Муссолини, и вовсе считал, что толпа неспособна мыслить: «В массах философия может существовать только как вера». Именно это делает демократию уязвимой для поверхностной риторики, осуждаемой Платоном, и тоталитарных эксцессов, с которыми столкнулся Грамши. Последний пришёл к выводу, что «новые убеждения масс обладают крайней хрупкостью», поскольку массы поддаются влиянию эмоциональности речей, а не их истинности. Именно поэтому многие политические деятели используют сильные образы, чтобы разжечь эмоции у своих избирателей, вместо того чтобы рассуждать аргументированно.

Аристотель противопоставляет представлению о толпе, как о тупом звере, образ существа с тысячью глаз, способного увидеть ситуацию во всей её полноте:

«Может оказаться, что большинство, из которого каждый сам по себе и не является дельным, объединившись, окажется лучше тех, не порознь, но в своей совокупности, подобно тому как обеды в складчину бывают лучше обедов, устроенных на средства одного человека. Ведь так как большинство включает в себя много людей, то, возможно, в каждом из них, взятом в отдельности, и заключается известная доля добродетели и рассудительности; а когда эти люди объединяются, то из многих получается как бы один человек, у которого много и рук, много и ног, много и восприятии, так же обстоит и с характером, и с пониманием. Вот почему большинство лучше судит о музыкальных и поэтических произведениях: одни судят об одной стороне, другие — о другой, а все вместе судят о целом».

Подведём итог: по мнению Платона, сочетание ошибочных элементов неизбежно порождает ошибочное целое; по мнению Кьеркегора, элементы, даже будучи истинными по отдельности, объединяясь, становятся ложными; по мнению Грамши, сам факт объединения элементов отдаляет нас от истины; а, по мнению Аристотеля, объединение элементов, пусть даже отчасти ложных по отдельности, позволяет получить относительно верное целое. Чтобы разобраться во всём этом и ответить на вопрос, может ли толпа быть права, полезно будет обратиться к математике.

Математика колокола

Когда молодой Карл Фридрих Гаусс заинтересовался траекториями небесных тел, он обнаружил, что измерения разных учёных сильно разнились между собой (по причине ошибок в наблюдениях и неточности инструментов, например). Он также заметил, что если перенести все эти значения на график, они образуют колоколообразную кривую: намного меньших и намного больших значений мало, тогда как наибольшее количество сосредоточено ближе к середине. Впоследствии это было названо кривой Гаусса (или нормальным распределением).

В данном примере сочетание всех ошибок в измерениях позволяет найти истинные траектории небесных тел: для этого достаточно лишь взять среднее значение. Тем не менее, стоит оговориться, что измерения проводятся учёными, а не толпой.

Английский статистик Фрэнсис Гальтон рассказывал, как во время сельскохозяйственной ярмарки в Плимуте организаторы предложили посетителям оценить вес быка. В конкурсе приняло участие около 800 человек. Гальтону были переданы все билеты, на которых участники написали свои оценки. К своему удивлению, учёный обнаружил, что 800 значений образовывали идеальную колоколообразную кривую и что средняя цифра достаточно точно соответствовала реальному весу животного. Гальтон увидел в невероятной точности vox populi позитивный знак для демократии:

«Среднестатистический участник конкурса, вероятно, мог дать верную оценку веса быка не хуже чем среднестатистический избиратель, оценивающий политические вопросы, по которым он голосует».

Но действительно ли с голосованием дело обстоит так же? Согласно теореме Кондорсе о жюри присяжных, при сценарии, в котором имеет место выбор большинством голосов между двумя вариантами, один из которых хороший, а другой плохой, если избиратели голосуют самостоятельно и искренне, и если каждый избиратель имеет более чем 50% вероятность выбрать правильный вариант, то чем больше избирателей, тем выше вероятность принятия правильного решения. Позже данный принцип будет назван центральной предельной теоремой. Именно на нём основана современная концепция эпистемической демократии, то есть мудрости толпы.

Измерения ради измерений

Однако с переходом от верности оценки к верности политических решений не всё так гладко. Прежде всего, он игнорирует фундаментальные различия между двумя явлениями. В случае с измерением или оценкой (будь то траектории небесного тела, веса быка или количества монет в банке), подлежащий оценке объект существует отдельно и независимо от тех, кто его оценивает (вес быка не зависит от чьего-либо мнения). В случае же с решением, в частности политическим, решение принимается избирателями и не существует без них.

Само собой, можно возразить, что из двух политических решений одно всегда лучше другого. Однако при принятии политического решения вопрос не в том, какой из вариантов лучше, а в том, какова цель (восстановление экономики, борьба с социальным неравенством, развитие науки, защита окружающей среды). Ни одна из этих целей не является истинной или ложной. Речь идёт о политическом выборе, с которым можно соглашаться или нет; направлении, в котором избиратели хотят или не хотят двигаться. В то же время, все эти цели имеют ценность. Правильный выбор существует лишь относительно цели, тогда как измерение может быть объективно правильным или неправильным.

Топла не гарантирует качество решения, но является залогом демократии. Тем не менее, точность коллективной оценки может быть снижена посредством влияния на мнение толпы. Это в ходе своего эксперимента продемонстрировал Даниэль Канеман. Исследователи спросили посетителей музея Эксплораториум в Сан-Франциско: «Как вы думаете, какой высоты достигает самая высокая секвойя в мире?». Однако этому вопросу каждый раз предшествовал другой: «Как вы думаете, самая высокая секвойя в мире выше или ниже 400 метров?». Средней оценкой среди опрошенных оказалось 278 метра. Однако когда исследователи заменили 400 метров в своём вопросе на 60 метров, среднее значение снизилось до 93 метров (а это 185 метров разницы). Данный пример показывает, насколько легко манипулировать мнением людей. Этот метод очень коварен, так как не подразумевает никаких утверждений, а содержит лишь невинный вопрос.

Танец пчёл

В мире природы есть отличный пример точности коллективной оценки. В конце весны — начале лета, когда пчёл в улее становится слишком много, пчелиная матка и часть её семьи покидают улей с целью создать новую колонию. Пчёлы следуют строгой процедуре: часть колонии (около 10 000 пчёл) покидают улей и собираются на нейтральной территории (это называется роением). Около сотни пчёл из этого роя отправляются на поиски нового места для будущей колонии; остальные в это время бездействуют.

Вернувшись, каждая из пчёл-разведчиц исполняет танец, сообщающий о расстоянии до найденного ею места и угле падения солнечных лучей. Другие пчёлы затем отправляются изучить указанное место. Если по возвращении они танцуют 1 или 2 раза, это значит, что место неподходящее; если же они танцуют много раз, то место хорошее. Через несколько дней все пчёлы-разведчицы начинают исполнять танец, соответствующий месту, избранному для создания новой колонии. Почти во всех случаях, которые наблюдали исследователи, это было лучшее из возможных мест.

Некоторые усматривают в поведении пчёл демократический процесс: своим танцем пчёлы как бы голосуют за то или иное место. Тот факт, что выбор всегда в итоге падает на лучшее место, таким образом, доказывает эффективность демократического голосования. На самом же деле всё иначе: пчёлы не голосуют, исходя из своих личных предпочтений, а оценивают места согласно определённым критериям, общим для всех пчёл. Идеальное место должно занимать определённое положение относительно солнца, иметь определённую влажность, находиться на определённой высоте и иметь определённые размеры. То есть это не вопрос личного выбора, как в случае с политическим решением, а вопрос объективных данных, как в случае с весом быка.

Таким образом, невозможно оценить успешность демократии на основе оценки принимаемых в ней решений. В то же время, толпа — это сущность демократии, и при определённых обстоятельствах, она способна давать точные оценки… например, количеству монет в банке.

9

КЕСАРЮ КЕСАРЕВО

Представьте, что вы посещаете Алезию, где Юлий Цезарь когда-то победил Верцингеторига. Там один из туристов спрашивает вас:

— А вы знали, что в вашей бутылке содержатся молекулы воды, которые когда-то находились и в чаше Юлия Цезаря?

Так как вы не отвечаете, этот человек продолжает:

— И ещё: вы знали, что Цезарь, скорее всего, является одним из внучатых племянников вашего прапрапрапрапрапрапрадеда по отцовской линии?

Вы заинтригованы и пристально смотрите на незнакомца, который продолжает:

— И вот ещё что: вы знали, что в среднем Верцингеториг спал столько же часов, что и вы, с погрешностью не более 16%?

После этого комментария вы решаете отойти, так как уверены, что ваш собеседник не в себе. Однако, поразмыслив как следует, вы заключаете, что одно из этих утверждений соответствует действительности. Какое именно?

Решение

Если второе и третье утверждения явно лишены смысла, то над первым стоит поразмыслить. Предположим, что однажды Цезарь выпил 20 сантилитров воды из чаши. В этой чаше было не менее 6,7 Х 10 в 24 степени молекул воды. Всего на Земле около 1,4 Х 10 в 21 степени литров воды. Если предположить, что молекулы воды, которую пил Цезарь, за это время равномерно распределились по всей планете (что вполне возможно), среднее количество молекул воды, которую пил Цезарь, в вашей фляге равняется:

И речь только о молекулах воды, выпитых Цезарем из одной-единственной чаши! Если подсчитать все молекулы воды, которы он выпил за 55 лет своей жизни, то получим несколько миллионов молекул, которые также содержатся в вашей фляге. В этом случае вероятность того, что вы выпьете одну из этих молекул, составляет 99,9%.

За кулисами

Мир тесен

«Как же тесен мир!» — обычно восклицает человек, когда случайно узнаёт, что кто-то встреченный им за границей знаком с его друзьями или родственниками. Если молекулы воды связывают нас с Цезарем (или Клеопатрой, Карлом Великим, Чингисханом, Леонардо да Винчи), то не менее вероятно и то, что Моцарт пожимал руку человеку, который позже пожимал руку другому человеку и так далее вплоть до человека, которому пожимаем руку мы. В большинстве случаев мы ничего не знаем об этой невидимой цепи. Верно и то, что существует бесконечное множество подобных невидимых цепей; каждый раз когда мы узнаём об одной из них, мы видим в этом невероятное совпадение и даже знак свыше.

Венгерский писатель Фридьеш Каринти первым продемонстрировал наличие невидимой ткани, соединяющей людей. В рассказе «Звенья цепи» (1929) он писал:

«Земля никогда не была такой маленькой, как сегодня — в относительном смысле, я имею в виду. Ускорение общения — как в устной, так и в физической форме, — уменьшило мир … Затем эта дискуссия переросла в небольшую игру. Чтобы доказать, что жители Земли во всех отношениях гораздо ближе друг к другу, чем когда-либо, один из членов общества предложил тест. Он предложил выбрать любого человека из числа 1,5 миллиарда жителей земного шара в любой точке на нём; затем он предложил заключить пари, что через не более чем пять других людей, среди которых будут его личные знакомые, он сможет установить связь с выбранным человеком на основе цепочки прямых личных знакомств…».

Сегодня данное явление известно как теория шести рукопожатий. Американский психолог Стэнли Милгрэм в 1967 году реализовал эксперимент, о котором писал Каринти, попросив участников передать письма из рук в руки. Начальной точкой была Омаха, штат Небраска; конечной — Шарон, штат Массачусетс, находящийся на расстоянии 2 000 километров. Из 300 писем лишь 60 достигли пункта назначения — для этого потребовалось в среднем 6 посредников. Данный эксперимент стал знаменитым. В 2011 году также было доказано, что в среднем 2 случайно взятых пользователей Facebook разделяют 4,74 знакомых.

Но действительно ли мы знаем людей, с которыми состоим в друзьях в соцсетях? Антрополог Робин Данбар утверждал, что максимальное число людей, с которыми мы способны поддерживать отношения, составляет около 150 человек. Это ограничение обусловлено возможностями нашего мозга, которые, безусловно, позволяют нам нажимать на кнопки, но не позволяют бесконечно формировать реальные связи. Поэтому удивительно обнаружить число Данбара в недавних исследованиях, посвящённых Facebook.

К сожалению, пандемии представляют собой феномен, который, пожалуй, лучше других иллюстрирует существование невидимой сети, связывающей людей друг с другом: вирус, возникший на другом конце света, добирается до нас всего за несколько недель, передаваясь по цепочке носителей, которых зачастую невозможно идентифицировать.

Один за всех и все за одного

Мы намного теснее связаны друг с другом, чем нам кажется. И это неудивительно, ведь люди выживают благодаря сотрудничеству. Именно это утверждает Гегель в «Феноменологии духа», говоря о том, что «самосознание находит удовлетворение только в другом самосознании». Мы сознаём сами себя через взгляд другого человека. Монтень отмечал, что «каждый человек несёт в себе полный образ человеческой природы».

Однако взаимосвязи не ограничены исключительно человечеством. Неожиданные невидимые связи соединяют нас со всем живым на планете. Они, например, содержатся в наших генах. Широко известно, что люди имеют 99% генетическое сходство с шимпанзе, с которыми мы имеем общего предка, жившего около 10 миллионов лет назад. Но у нас также есть общий предок с растениями; он жил 1,5 миллиарда лет назад.

Это бесконечное число связей очень напоминает то, что Лейбниц называл «малыми восприятиями»: например, тысячи капель морской воды, незаметные по отдельности, но которые вместе создают шум волн или водопада. В «Новых опытах о человеческом разумении» он пишет:

«Действие этих малых восприятий гораздо более значительно, чем думают. Именно они образуют те не поддающиеся определению вкусы, те образы чувственных качеств, ясных в совокупности, но неотчётливых в своих частях, те впечатления, которые производят на нас окружающие нас тела и которые заключают в себе бесконечность, — ту связь, в которой находится каждое существо со всей остальной вселенной».

Мы являемся частью всего вокруг; и всё вокруг является частью нас.

10

НЕ ТОРОПИТЕСЬ

Смотритель замка Хильдерик очень экономен: он собирает воск с каждой догоревшей свечи в подсвечнике. Это позволяет ему делать 1 новую свечу из воска от 5 использованных.

Известно, что у него есть 125 свечей. Сколько новых свечей он сможет сделать?

Решение

Первый ответ, который приходит в голову, — 25. Однако этот ответ не учитывает временной аспект, поскольку когда 25 восстановленных свечей тоже догорят, Хильдерик сделает из них ещё 5 (всего 30). А когда догорят эти 5, он сделает ещё 1. Поэтому ответ таков: из 125 свечей Хильдерик сможет сделать 31 (или даже 31,2, ведь смотритель несомненно соберёт воск и с этой последней свечи).

За кулисами

Как быстро летит время

На первый взгляд кажущийся логичным вывод о том, что из 125 свечей можно будет сделать 25, верен лишь в момент t, то есть до тех пор, пока не догорит первая порция свечей. Однако поскольку в головоломке нет никаких временных ограничений, необходимо подсчитать количество свечей, которые можно будет сделать из всего воска, собранного также и со всех последующих свечей. Для этого нужно мыслить, как шахматист, и учитывать, что есть не только t, но и t + 1, t + 2 и т. д.

Часть догоревших свечей подлежат восстановлению. Понимание этого циклического процесса требует мыслить на шаг вперёд. Для шахматиста, который порой жертвует отдельными фигурами ради победы в партии, в данном подходе нет ничего нового; его также практикует тот, кто оценивает детей и видит у них потенциал в определённой области. В обоих случаях мысль не ограничивается текущим положением дел, а нацелена на будущий результат. В некоторых других случаях — например, при принятии политических решений — данный процесс менее очевиден.

Первым мыслителем, подчёркивавшим важность временного фактора в восприятии мира, был Гераклит, живший в Эфесе на рубеже VI и V веков до н. э. По мнению этого философа, окружающее нас пространство непрестанно меняется, поэтому о нём нельзя мыслить в отрыве от времени. Именно поэтому Гераклит говорил, что «ни один человек не входит в одну и ту же реку дважды, ибо это не та же река, и он не тот же человек». Но время не только придаёт смысл природе, движущей силой которой оно является; оно также лишает её смысла, поскольку разрушает идентичность всех вещей и всех существ: свеча, с точки зрения Гераклита, — это одновременно и новая свеча, и воск, который будет использован для создания новой свечи.

Пруст также мыслил жизнь через призму времени. Внимательный читатель заметит, что в его романе «В поисках утраченного времени» нет неизменных истин. Например, персонаж по имени Бергот — это одновременно писатель, которым рассказчик восхищается в детстве, и писатель, чьи недостатки он видит позже.

«Как есть геометрия в пространстве, так во времени есть психология; расчёты психологии не были бы точны, если бы мы не приняли во внимание Время».

Данная истина, мимоходом брошенная в «Беглянке», будет одним из выводов, к которым рассказчик придёт в «Обретённом времени»:

«Мы не сможем рассказать о наших отношениях с человеком, даже если мы его плохо знали, не вводя в повествование одно за другим самые разные места нашей жизни. Так что каждый индивид — и сам я был одним из них — определял для меня длительность времени вращением, которое он совершал не только движением по своей орбите, но и движением вокруг других лиц, и в особенности теми положениями, что были последовательно заняты им относительно моей персоны».

Путешествие в пространстве-времени

В этот же период другой великий ум, которым восхищался Пруст, также мыслил о Вселенной, принимая во внимание временной аспект: Альберт Эйнштейн. Но прежде, чем говорить о нём, стоит отметить, что математика не интересуется временем, поскольку каждую совершённую операцию в любой момент можно отменить. От 5 + 2 = 7 всегда можно вернуться к 7 = 5 + 2. В целом, математическое рассуждение можно читать от начала до конца и от конца до начала. Это обесценивает время. В науках о природе же временем нельзя пренебречь: из яиц можно сделать омлет, но из омлета нельзя сделать яйца. Процесс необратим.

Новшество теории относительности, однако, несколько сложнее этого простого утверждения. Сегодня Эйнштейн считается знаменосцем теории относительности, но он был не единственным, кто над ней работал: труды Хендрика Лоренца, Германа Минковского и Анри Пуанкаре позволили ему сформулировать принцип в более простой форме.

Исходный пункт относительности — рассматривать время не как абсолютную величину, а как изменчивый элемент в системе отсчёта пространства-времени (три измерения пространства дополняет четвёртое — временное). Согласно этому представлению, течение времени зависит от движения тел. Рассмотрим пример, иллюстрирующий эту контринтуитивную идею.

Вокруг Земли с постоянной скоростью v обращается спутник. В определённый момент он пролетает над Афинами и делает вспышку (как фотоаппарат). Затем он продолжает движение по заданной траектории и делает ещё одну вспышку над Бангкоком. С точки зрения наблюдателя на Земле, вспышку над Афинами и вспышку над Бангкоком разделяет временной отрезок t. Этот временной отрезок также позволяет нам вычислить расстояние между двумя городами, которое будет равняться vt. С точки зрения человека, делающего вспышку на борту спутника, разница во времени между двумя вспышками равна T (целью нашего эксперимента будет установить, верно ли, что T = t), а пройденное расстояние равно 0 (с точки зрения человека на борту спутника, мир движется относительно него, а сам он остаётся неподвижным).

Таким образом, если выразить движение в координатной форме (пространство; время), то движение спутника будет (vt; t) с точки зрения наблюдателя на Земле и (0; T) с точки зрения человека на борту спутника. Независимо от того, наблюдаем ли мы за полётом спутника с Земли или из космоса, преодолённый пространственно-временной интервал должен быть одинаковым.

Используя классическую формулу для расчёта расстояния и учитывая тот факт, что ось времени привязана к скорости света c, получим следующее уравнение:

Из этого можно вывести:

Часть

по определению меньше 1 и может быть равна 1 только при условии, что скорость спутника v = 0. Соответственно, если скорость спутника не равна 0, временной отрезок на борту спутника (T) короче, чем на Земле (t). Более того, чем быстрее движется спутник, тем медленнее течёт время на его борту. Таким образом, течение времени зависит от скорости, с которой мы его воспринимаем. Разумеется, на уровне скоростей, с которыми мы передвигаемся в повседневной жизни (очень низких по сравнению со скоростью света), данный эффект незаметен. Однако в случае со спутником данное явление приобретает огромное значение.

Головоломка о догоревших свечах и подход ко времени согласно теории относительности учат нас, что всё необходимо подвергать сомнению.

©Antoine Houlou-Garcia & Thierry Maugenest

Это сокращённая версия книги. Оригинал можно почитать тут.